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Si consideri il sistema $Ax=b$ dove $A$ è la matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=\alpha_i$ per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=\beta_i$ per $i=1,\ldots,n-1$, $a_{i,n}=\gamma_i$ per $i=1,\ldots,n-1$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Dire sotto quali condizioni esistono le fattorizzazione $LU$ di $A$ e di $A^T$ e determinare i fattori $L$ ed $U$ in entrambi i casi. b) Si utilizzino le due […]

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Per $n\ge 5$ si consideri il sistema $Ax=f$ dove $x=(x_i),f=(f_i)\in\mathbb R^n$ e $A$ è la matrice $n\times n$ definita da \[ A=\left[\begin{array}{ccccc} a_1&b_1&&&d_1\\ c_1&a_2&b_2&O&\vdots\\ &c_2&\ddots&\ddots&d_{n-2}\\ &O&\ddots&a_{n-1}&b_{n-1}\\ &&&c_{n-1}&a_n \end{array}\right] \] a) Si descriva la matrice e il vettore dei termini noti del sistema ottenuto dopo un passo di eliminiazione gaussiana applicata a $Ax=f$ e si valuti […]

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Dato un numero reale $\alpha$ e un intero $n>2$ sia $M=(m_{i,j})$ la matrice $n\times n$ triangolare superiore con elementi $m_{i,j}=1$ per $i\le j$. Sia inoltre $N=\alpha uv^T$ dove $u=(u_i),v=(v_i)\in\mathbb R^n$ sono tali che $u_i=i$ per $i=1,\ldots,n$ e $v_i=(-1)^{i+1}$ per $i=1,\ldots,n-1$ e $v_n=0$. Si consideri il sistema lineare $Ax=b$, con $b\in\mathbb R^n$, dove $A=M-N$, e il […]

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Si risolve il seguente sistema lineare: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=4 \\ -2x+7y=16 \end{array} \right. \]

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Si risolve il seguente sistema lineare: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x+6y=8 \\ 3x-5y=2 \end{array} \right. \]

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Si risolve il seguente sistema lineare: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x+4y=4 \\ y=x-2 \end{array} \right. \]

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Si risolve il seguente sistema lineare: \[ \left\{ \begin{array}{l} x-y+2z=5 \\ x+2y-z=1 \\ 3x+3y-4z=2 \end{array} \right. \] Qui sotto vediamo i passaggi per ottenere il medesimo risultato utilizzando l’eliminazione di gauss: Passo Zero: la matrice 3×3 ed il vettore dei termini noti relativi al sistema di equazioni. \[ \left[ \begin{array}{ccc} \bf-1 & 1 & 2 […]

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introduzione ai sistemi lineari concetti di base per l’algebra lineare. lezine per il triennio delle scuole superiori.

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