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Dario A. Bini, Università di Pisa Nella risoluzione di problemi del mondo reale è frequente incontrare errori a vari livelli, molto spesso anche a nostra insaputa. Gli errori hanno varia natura e sono generalmente causati dalla “finitezza” delle risorse a nostra disposizione quali strumenti di misura e risorse di calcolo. Ad esempio, le misure fatte […]

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I teoremi di Gerschgorin

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. In certe situazioni è utile disporre di criteri facilmente applicabili che forniscano localizzazioni nel campo complesso degli autovalori di una matrice assegnata. Un esempio significativo a questo riguardo è dato dallo studio della stabilità di un sistema dinamico governato da un sistema di equazioni differenziali del […]

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Applicazione della SVD alla compressione di immagini

Dario A. Bini, Università di Pisa Lo sviluppo della tecnologia digitale consente ormai di raggiungere degli standard di qualità fotografica superiori a quelli forniti dalla ormai superata fotografia su pellicola. Le macchine fotografiche digitali attualmente in commercio permettono di scattare fotografie formate da 10 a 20 megapixel. Esistono macchine molto costose che arrivano a 160 […]

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Giampaolo Mele  (estratto dalla tesi di laurea triennale in Matematica, Università di Pisa 2011) Le equazioni differenziali con ritardo intervengono in quei modelli matematici in cui la reazione di un sistema sottoposto ad un certo stimolo non è sempre immediata ma può avvenire con un certo ritardo.   A volte tale ritardo è trascurabile, mentre […]

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Sia $n>2$ un intero e si denoti con $e=(1,\ldots,1)^T\in\mathbb R^{n-1}$, $e_1=(1,0,\ldots,0)^T\in\mathbb R^{n-1}$. a) Costruire la matrice di Householder $P$ tale che $Pe=\theta e_1$, dove $\theta\in\mathbb R$ b) Sia $A=(a_{i,j})$ matrice reale $n\times n$ tale che $a_{1,i}=a_{i,1}=1$ per $i=2,\ldots,n$ e $a_{i,j}=0$ altrove. Si costruisca una matrice ortogonale $Q$ tale che $B=QAQ^T$ abbia tutti elementi nulli tranne […]

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È dato il sistema lineare $Ax=b$ dove $A$ è una matrice $n\times n$ reale simmetrica definita positiva di autovalori $0\lt \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$. Si consideri il metodo iterativo definito da \[ x^{(i+1)}=x^{(i)}+\alpha(b-Ax^{(i)}), \] con $\alpha$ parametro reale. a) Dare condizioni su $\alpha$ in termini degli autovalori di $A$ necessarie e sufficienti […]

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