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Dario A. Bini, Università di Pisa Nella risoluzione di problemi del mondo reale è frequente incontrare errori a vari livelli, molto spesso anche a nostra insaputa. Gli errori hanno varia natura e sono generalmente causati dalla “finitezza” delle risorse a nostra disposizione quali strumenti di misura e risorse di calcolo. Ad esempio, le misure fatte […]

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I teoremi di Gerschgorin

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. In certe situazioni è utile disporre di criteri facilmente applicabili che forniscano localizzazioni nel campo complesso degli autovalori di una matrice assegnata. Un esempio significativo a questo riguardo è dato dallo studio della stabilità di un sistema dinamico governato da un sistema di equazioni differenziali del […]

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Applicazione della SVD alla compressione di immagini

Dario A. Bini, Università di Pisa Lo sviluppo della tecnologia digitale consente ormai di raggiungere degli standard di qualità fotografica superiori a quelli forniti dalla ormai superata fotografia su pellicola. Le macchine fotografiche digitali attualmente in commercio permettono di scattare fotografie formate da 10 a 20 megapixel. Esistono macchine molto costose che arrivano a 160 […]

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Sia $A=(a_{i,j})$ una matrice ad elementi reali bidiagonale $n\times n$, cioè tale che $a_{i,j}=0$ se $i\ne j$ e $i\ne j-1$. Si ponga $a_{i,i}=\alpha_i$ per $i=1,\ldots,n$ e $a_{i,i+1}=\beta_i$ per $i=1,\ldots,n-1$, $\beta_0=\beta_n=\alpha_0=0$. Dire, motivando le risposte, se le seguenti diseguaglianze sono valide \[ \begin{array}{ll} \|A\|_2\ge\max_i\sqrt{\alpha_i^2+\beta_{i-1}^2}& \\ \\ \|A\|_2\le\max_i\sqrt{\alpha_i^2+\beta_{i-1}^2+|\alpha_{i-1}\beta_{i-1}|+ |\alpha_i\beta_i|}&\\ \end{array} \] Sia $B$ una matrice $n\times n$ […]

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Sia $A_n(\alpha,\beta,\gamma)=(a_{i,j})$ la matrice $n\times n$ tale che $a_{i,i}=1$, $a_{1,i}=\beta$, $a_{i,i-1}=\gamma$ per $i=2,\ldots n$, $a_{1,1}=\alpha$, $a_{i,j}=0$ altrove, dove $\alpha,\beta,\gamma\ne 0$ sono reali. a) Applicare un apsso di eliminazione gaussiana al sistema $A_n(\alpha,\beta,\gamma)x=b$ per $b\in\mathbb R^n$ e dimostrare che la matrice del sistema di dimensione $n-1$ ottenuto eliminando l’incognita $x_1$ ha la forma $A_{n-1}(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$ per opportuni […]

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Sia $A=(a_{i,j})$ la matrice tridiagonale $n\times n$, dove $n$ è un intero pari, tale che $a_{i,i}=(-1)^i\alpha$ per $i=1,\ldots,n$, $a_{i,i+1}=a_{i+1,i}=1$ per $i=1,\ldots,n-1$, e $\alpha\in\mathbb R$. Per la risoluzione del sistema $Ax=b$ si consideri il metodo iterativo $Mx^{(k+1)}=Nx^{(k)}+b$ ottenuto dal partizionamento additivo $A=M-N$ dove $M$ è la matrice diagonale a blocchi $2\times 2$ con blocchi diagonali $\left[\begin{array}{cc}-\alpha […]

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Sia $A=(a_{i,j})$ la matrice tridiagonale simmetrica $n\times n$, $n\ge 2$, con elementi $a_{i,i}=2$ per $i=2,\ldots,n$, $a_{1,1}=\alpha$, $a_{i,i+1}=1$ per $i=1,\ldots,n-1$. a) Dimostrare che $\det A=\alpha n-n+1$. b) Dare condizioni necessarie e sufficienti affinché esista e sia unica la fattorizzazione LU di $A$. c) descrivere un algoritmo per il calcolo di $L$ e $U$ che richieda non […]

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Sia $A$ una matrice reale simmetrica $n \times n$ con autovalori $\lambda_i$ , $i = 1, \ldots , n$ e autovettori ortonormali $u_i$, $i = 1, \ldots , n$. Per la risoluzione del sistema $Ax = b$ si consideri il metodo iterativo $x^{(k+1)} = M^{-1}(N x^{(k)} + b)$, dove $A = M – N$ e […]

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Per $n$ intero positivo, siano $u, v, b \in\mathbb R^n$ e $D$ una matrice $n \times n$ diagonale tale che $\det D \ne 0$. Per risolvere il sistema lineare $Ax = b$ con $A = D + uv^T$ si consideri il metodo iterativo $x^{(k+1)} = M^{-1} (N x^{(k)} + b)$ dove $A = M – […]

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