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È dato il sistema lineare $Ax=b$ dove $A$ è una matrice $n\times n$ reale simmetrica definita positiva di autovalori $0\lt \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$. Si consideri il metodo iterativo definito da \[ x^{(i+1)}=x^{(i)}+\alpha(b-Ax^{(i)}), \] con $\alpha$ parametro reale. a) Dare condizioni su $\alpha$ in termini degli autovalori di $A$ necessarie e sufficienti […]

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Dato un intero $n>2$ e un numero reale $\alpha\ne 0$ si consideri la matrice $n\times n$ $A=(a_{i,j})$, tale che $a_{i,i}=1$, $i=1,\ldots, n$, $a_{i,j}=\alpha$ se $i-j$ è congruo a 1 modulo $n$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Dimostrare che esistono uniche le fattorizzazioni $LU$ di $A$ e di $A^T$. b) Descrivere un algoritmo per il calcolo del fattore […]

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Siano rispettivamente $J$ e $G$ le matrici di iterazione dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel applicati al sistema $Hx=b$ dove $H=(h_{i,j})$ è la matrice tridiagonale $n\times n$ tale che $h_{i,i}=3$ per $i=1,\ldots,n$ e $h_{i+1,i}=h_{i,i+1}=1$ per $i=1,\ldots,n-1$. a) Dimostrare che per $n\ge 2$ vale $\rho(J) \lt 2/3$, $\rho(G) \lt 4/9$, dove $\rho(\cdot)$ indica il raggio […]

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introduzione ai sistemi lineari concetti di base per l’algebra lineare. lezine per il triennio delle scuole superiori.

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