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Dario A. Bini, Università di Pisa Nella risoluzione di problemi del mondo reale è frequente incontrare errori a vari livelli, molto spesso anche a nostra insaputa. Gli errori hanno varia natura e sono generalmente causati dalla “finitezza” delle risorse a nostra disposizione quali strumenti di misura e risorse di calcolo. Ad esempio, le misure fatte […]

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Lista di esercizi sulle equazioni logaritmiche. Nella tabella è possibile visuallizzare il risultato dell’equazione passando col mouse sulla riga corrispondente. In alcuni casi è presente la soluzione completa tramite svolgimento; essa è visualizzabile cliccando sul testo dell’equazione. (NB se il testo dell’equazione è un link cliccabile allora verrà visualizzata l’eventuale risoluzione) N Esercizio Risultato 1 […]

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Discutere le seguenti equazioni di secondo grado al variare del parametro (posizionare il mouse sopra la riga dell’esercizio per visualizzare il risultato. se il testo dell’espressione è cliccabile si può visualizzare anche la risoluzione) N Esercizio Risultato 1 $3kx^2-4kx+2=0$ $0\le k \lt \frac{3}{2} :~impossibile$  $k=\frac{3}{2}:~x=\frac{2}{3}$   $k\lt 0 \vee k\gt \frac{3}{2}:~x_{1,2}=\frac{4k\pm\sqrt{k(16k-24)}}{6k}$ 2 $\displaystyle \alpha^2x^2-2x+\frac{1}{2}=0$ $\alpha=\pm\sqrt{2}:~ x=\frac{1}{2}$  […]

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I teoremi di Gerschgorin

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. In certe situazioni è utile disporre di criteri facilmente applicabili che forniscano localizzazioni nel campo complesso degli autovalori di una matrice assegnata. Un esempio significativo a questo riguardo è dato dallo studio della stabilità di un sistema dinamico governato da un sistema di equazioni differenziali del […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Tra le diverse forme canoniche di una matrice disponibili sul mercato la forma di Schur è particolarmente utile poichè si ottiene con una trasformazione per similitudine data da una matrice unitaria.   Ricordiamo che una matrice $U\in\mathbb C^{n\times n}$ è detta unitaria se $U^HU=UU^H=I$, dove $I$ indica la matrice […]

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Disegnare le seguenti parabole nel piano cartesiano. calcolarne quindi vertice, asse di simmetria, incontro con gli assi e retta direttrice. (posizionare il mouse sopra la riga dell’esercizio per visualizzare il risultato. se il testo dell’espressione è cliccabile si può visualizzare anche la risoluzione) N Esercizio Risultato 1 $y=3x^2-5x+2$ $V(\frac{5}{6};-\frac{5}{12})$   Asse:$x=\frac{5}{6}$   incontro ascisse: $(\frac{5\pm\sqrt{5}}{6},0)$  incontro ordinate:$(0,2)$   […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa      Nello studio dei metodi di risoluzione di sistemi lineari è utile disporre del concetto di norma per valutare attraverso un numero reale non negativo la “grandezza” di un vettore o di una matrice. 1 – Norme di vettori Diamo la seguente Definizione.  Una applicazione $\|\cdot\|:\mathbb C^n\to\mathbb R$ viene […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si introduce la classe delle matrici elementari che hanno proprietà computazionali interessanti e permettono di costruire algoritmi efficienti per calcolare le principali fattorizzazioni di matrici.    Poi si considerano due sottoclassi particolari di matrici elementari: le matrici elementari di Gauss che sono triangolari superiori, le matrici elementari di Householder che […]

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Verifica di un’ora sulla densità in fisica per gli studenti del primo anno delle scuole superiori. tempo di svolgimento 1 ora A) Sapendo che la densità dell’acciaio è $7860 \displaystyle \frac{kg}{m^3}$ , qual’è la massa di un corpo avente volume pari a $3 m^3$ ? B) Due corpi X ed Y con lo stesso volume […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si consideri il sistema lineare $Ax=b$, dove $A$ è una matrice $n\times n$ non singolare e $b\in\mathbb R^n$ è il vettore dei termini noti.    Se la matrice $A$ è triangolare inferiore, cioè se $a_{i,j}=0$ per $i\lt j$, allora il sistema può essere facilmente risolto mediante la sostituzione in […]

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