More Articles from Archive ~ Analisi Numerica

Dario A. Bini, Università di Pisa I metodi basati sulle fattorizzazioni LU e QR per risolvere un sistema di equazioni lineari $Ax=b$ di $n$ equazioni e incognite forniscono la soluzione in un numero di operazioni aritmetiche dell’ordine di $n^3\,$.     In certi problemi provenienti dalle applicazioni il valore di $n$ è molto elevato.    Ad esempio, […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa In alcune situazioni si incontra il problema di dover approssimare il valore che una certa funzione $f(x):[a,b]\to \mathbb R$ assume in un punto assegnato $\xi\in[a,b]$ avendo a disposizione i valori che la funzione assume in un insieme di $n+1$ punti $x_0,x_1,\ldots,x_n\in[a,b]$. Cioè, date le coppie $(x_i,y_i)$, con $y_i=f(x_i)$ per […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa (Bozza) La trasformata discreta di Fourier è una operazione che permette di rappresentare vettori nel campo complesso in una base speciale, la base di Fourier. Da questa particolare rappresentazione si possono ricavare informazioni interessanti del vettore originario che sono di grande utilità in molte applicazioni.    Una caratteristica di […]

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Il modello del PageRank di Google

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. Quando utilizziamo un motore di ricerca tipo Google per avere informazioni su un certo argomento ci viene fornita in risposta una lista numerosa di pagine, generalmente migliaia o centinaia di migliaia, che contengono le parole chiave che abbiamo richiesto. Queste pagine vengono ordinate in base alla […]

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Problemi di vibrazioni

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. Lo studio delle vibrazioni di sistemi di particelle è un tipico problema in cui il ruolo giocato dagli autovalori e dagli autovettori di matrici è particolarmente rilevante. In questo contesto i metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori hanno una importanza determinante. Molte applicazioni […]

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Applicazione della SVD alla compressione di immagini

Dario A. Bini, Università di Pisa Lo sviluppo della tecnologia digitale consente ormai di raggiungere degli standard di qualità fotografica superiori a quelli forniti dalla ormai superata fotografia su pellicola. Le macchine fotografiche digitali attualmente in commercio permettono di scattare fotografie formate da 10 a 20 megapixel. Esistono macchine molto costose che arrivano a 160 […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione.   In campo fotografico e cinematografico la tecnologia digitale ha da tempo soppiantato la vecchia tecnologia analogica.    Macchine fotografiche digitali vengono comunemente e diffusamente utilizzate a livello amatoriale e professionale.     Una foto digitale in bianco/nero, nel formato raw, consiste di una matrice $m\times n$ di numeri […]

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Giampaolo Mele  (estratto dalla tesi di laurea triennale in Matematica, Università di Pisa 2011) Le equazioni differenziali con ritardo intervengono in quei modelli matematici in cui la reazione di un sistema sottoposto ad un certo stimolo non è sempre immediata ma può avvenire con un certo ritardo.   A volte tale ritardo è trascurabile, mentre […]

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Sia $\alpha\in\mathbb R$, $n\ge 4$ un intero e $A=(a_{i,j})$ matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=i\alpha$, per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=-1$, $a_{i,i+1}=1$, per $i=1,\ldots,n-1$ e $a_{i,j}=0$ altrove. a) Determinare i valori di $\alpha$ per cui i cerchi di Gerschgorin di $A$ sono a due a due disgiunti. Dimostrare che per tali valori di $\alpha$ la matrice $A$ ha […]

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Sia $n>2$ un intero e si denoti con $e=(1,\ldots,1)^T\in\mathbb R^{n-1}$, $e_1=(1,0,\ldots,0)^T\in\mathbb R^{n-1}$. a) Costruire la matrice di Householder $P$ tale che $Pe=\theta e_1$, dove $\theta\in\mathbb R$ b) Sia $A=(a_{i,j})$ matrice reale $n\times n$ tale che $a_{1,i}=a_{i,1}=1$ per $i=2,\ldots,n$ e $a_{i,j}=0$ altrove. Si costruisca una matrice ortogonale $Q$ tale che $B=QAQ^T$ abbia tutti elementi nulli tranne […]

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