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I teoremi di Gerschgorin

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. In certe situazioni è utile disporre di criteri facilmente applicabili che forniscano localizzazioni nel campo complesso degli autovalori di una matrice assegnata. Un esempio significativo a questo riguardo è dato dallo studio della stabilità di un sistema dinamico governato da un sistema di equazioni differenziali del […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Tra le diverse forme canoniche di una matrice disponibili sul mercato la forma di Schur è particolarmente utile poichè si ottiene con una trasformazione per similitudine data da una matrice unitaria.   Ricordiamo che una matrice $U\in\mathbb C^{n\times n}$ è detta unitaria se $U^HU=UU^H=I$, dove $I$ indica la matrice […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa      Nello studio dei metodi di risoluzione di sistemi lineari è utile disporre del concetto di norma per valutare attraverso un numero reale non negativo la “grandezza” di un vettore o di una matrice. 1 – Norme di vettori Diamo la seguente Definizione.  Una applicazione $\|\cdot\|:\mathbb C^n\to\mathbb R$ viene […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si introduce la classe delle matrici elementari che hanno proprietà computazionali interessanti e permettono di costruire algoritmi efficienti per calcolare le principali fattorizzazioni di matrici.    Poi si considerano due sottoclassi particolari di matrici elementari: le matrici elementari di Gauss che sono triangolari superiori, le matrici elementari di Householder che […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si consideri il sistema lineare $Ax=b$, dove $A$ è una matrice $n\times n$ non singolare e $b\in\mathbb R^n$ è il vettore dei termini noti.    Se la matrice $A$ è triangolare inferiore, cioè se $a_{i,j}=0$ per $i\lt j$, allora il sistema può essere facilmente risolto mediante la sostituzione in […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa In questo articolo esaminiamo alcuni aspetti computazionali e implementativi relativi ai metodi di Gauss e di Householder per il calcolo delle fattorizzazioni LU e QR di una matrice $A$ e per la risoluzione di un sistema lineare $Ax=b$.    Analizzeremo il costo computazionale e la stabilità numerica di questi metodi.    […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa I metodi basati sulle fattorizzazioni LU e QR per risolvere un sistema di equazioni lineari $Ax=b$ di $n$ equazioni e incognite forniscono la soluzione in un numero di operazioni aritmetiche dell’ordine di $n^3\,$.     In certi problemi provenienti dalle applicazioni il valore di $n$ è molto elevato.    Ad esempio, […]

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Sia $\alpha\in\mathbb R$, $n\ge 4$ un intero e $A=(a_{i,j})$ matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=i\alpha$, per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=-1$, $a_{i,i+1}=1$, per $i=1,\ldots,n-1$ e $a_{i,j}=0$ altrove. a) Determinare i valori di $\alpha$ per cui i cerchi di Gerschgorin di $A$ sono a due a due disgiunti. Dimostrare che per tali valori di $\alpha$ la matrice $A$ ha […]

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Sia $n>2$ un intero e si denoti con $e=(1,\ldots,1)^T\in\mathbb R^{n-1}$, $e_1=(1,0,\ldots,0)^T\in\mathbb R^{n-1}$. a) Costruire la matrice di Householder $P$ tale che $Pe=\theta e_1$, dove $\theta\in\mathbb R$ b) Sia $A=(a_{i,j})$ matrice reale $n\times n$ tale che $a_{1,i}=a_{i,1}=1$ per $i=2,\ldots,n$ e $a_{i,j}=0$ altrove. Si costruisca una matrice ortogonale $Q$ tale che $B=QAQ^T$ abbia tutti elementi nulli tranne […]

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