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Sia $\alpha\in\mathbb R$, $n\ge 4$ un intero e $A=(a_{i,j})$ matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=i\alpha$, per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=-1$, $a_{i,i+1}=1$, per $i=1,\ldots,n-1$ e $a_{i,j}=0$ altrove. a) Determinare i valori di $\alpha$ per cui i cerchi di Gerschgorin di $A$ sono a due a due disgiunti. Dimostrare che per tali valori di $\alpha$ la matrice $A$ ha […]

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Sia $n>2$ un intero e si denoti con $e=(1,\ldots,1)^T\in\mathbb R^{n-1}$, $e_1=(1,0,\ldots,0)^T\in\mathbb R^{n-1}$. a) Costruire la matrice di Householder $P$ tale che $Pe=\theta e_1$, dove $\theta\in\mathbb R$ b) Sia $A=(a_{i,j})$ matrice reale $n\times n$ tale che $a_{1,i}=a_{i,1}=1$ per $i=2,\ldots,n$ e $a_{i,j}=0$ altrove. Si costruisca una matrice ortogonale $Q$ tale che $B=QAQ^T$ abbia tutti elementi nulli tranne […]

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È dato il sistema lineare $Ax=b$ dove $A$ è una matrice $n\times n$ reale simmetrica definita positiva di autovalori $0\lt \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$. Si consideri il metodo iterativo definito da \[ x^{(i+1)}=x^{(i)}+\alpha(b-Ax^{(i)}), \] con $\alpha$ parametro reale. a) Dare condizioni su $\alpha$ in termini degli autovalori di $A$ necessarie e sufficienti […]

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Dato un intero $n>2$ e un numero reale $\alpha\ne 0$ si consideri la matrice $n\times n$ $A=(a_{i,j})$, tale che $a_{i,i}=1$, $i=1,\ldots, n$, $a_{i,j}=\alpha$ se $i-j$ è congruo a 1 modulo $n$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Dimostrare che esistono uniche le fattorizzazioni $LU$ di $A$ e di $A^T$. b) Descrivere un algoritmo per il calcolo del fattore […]

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Siano rispettivamente $J$ e $G$ le matrici di iterazione dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel applicati al sistema $Hx=b$ dove $H=(h_{i,j})$ è la matrice tridiagonale $n\times n$ tale che $h_{i,i}=3$ per $i=1,\ldots,n$ e $h_{i+1,i}=h_{i,i+1}=1$ per $i=1,\ldots,n-1$. a) Dimostrare che per $n\ge 2$ vale $\rho(J) \lt 2/3$, $\rho(G) \lt 4/9$, dove $\rho(\cdot)$ indica il raggio […]

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Sia $A=(a_{i,j})$ la matrice $n\times n$, $n\gt 4$, di elementi $a_{1,1}=1$, $a_{i,i}=2$ per $i=2,\ldots,n$, $a_{i,i+1}=a_{i+1,i}=-1$ per $i=1,\ldots,n-1$, $a_{1,n}=a_{n,1}=1$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Verificare che valgono le condizioni sufficienti per l’esistenza e unicità della fattorizzazione LU. b) Scrivere la matrice elementare di Gauss $E_1$ che trasforma la prima colonna di $A$ nel vettore $(1,0,\ldots,0)^T$, e si calcoli […]

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Si dica, motivando la risposta, quali delle seguenti funzioni è una norma vettoriale su $\mathbb R^n$ per $n>2$. $|x_1|+|x_n|$ $\max_i |x_i|+\min_i |x_i|$ $|x_1|+\max|x_i|$ Si consideri la matrice $A=\left[\begin{array}{cc}3&-1\\ 1&1\end{array}\right]$ e si dica, motivando la risposta, se può esistere una norma indotta tale che separatamente $\|A\|=4$ $\|A\|=2+10^{-20}$ $\|A\|=2$ Soluzione La prima funzione non è norma vettoriale […]

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Sia $A=(a_{i,j})$ la matrice $n\times n$, $n\ge 2$, tale che $a_{i,i}=1$ per $i=1,\ldots,n$, $a_{1,i}=a_{i,1}=\alpha\ne 0$ per $i=2,\ldots,n$, $a_{i,j}=0$ altrimenti. Si denotino con $J$ e $G$ le matrici di iterazione rispettivamente dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel applicati al sistema lineare $Ax=b$. a) Determinare $J$ e $G$ e dimostrare che $J$ ha rango 2 mentre […]

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Si consideri il sistema $Ax=b$ dove $A$ è la matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=\alpha_i$ per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=\beta_i$ per $i=1,\ldots,n-1$, $a_{i,n}=\gamma_i$ per $i=1,\ldots,n-1$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Dire sotto quali condizioni esistono le fattorizzazione $LU$ di $A$ e di $A^T$ e determinare i fattori $L$ ed $U$ in entrambi i casi. b) Si utilizzino le due […]

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