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Dario A. Bini, Università di Pisa Nella risoluzione di problemi del mondo reale è frequente incontrare errori a vari livelli, molto spesso anche a nostra insaputa. Gli errori hanno varia natura e sono generalmente causati dalla “finitezza” delle risorse a nostra disposizione quali strumenti di misura e risorse di calcolo. Ad esempio, le misure fatte […]

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I teoremi di Gerschgorin

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. In certe situazioni è utile disporre di criteri facilmente applicabili che forniscano localizzazioni nel campo complesso degli autovalori di una matrice assegnata. Un esempio significativo a questo riguardo è dato dallo studio della stabilità di un sistema dinamico governato da un sistema di equazioni differenziali del […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Tra le diverse forme canoniche di una matrice disponibili sul mercato la forma di Schur è particolarmente utile poichè si ottiene con una trasformazione per similitudine data da una matrice unitaria.   Ricordiamo che una matrice $U\in\mathbb C^{n\times n}$ è detta unitaria se $U^HU=UU^H=I$, dove $I$ indica la matrice […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa      Nello studio dei metodi di risoluzione di sistemi lineari è utile disporre del concetto di norma per valutare attraverso un numero reale non negativo la “grandezza” di un vettore o di una matrice. 1 – Norme di vettori Diamo la seguente Definizione.  Una applicazione $\|\cdot\|:\mathbb C^n\to\mathbb R$ viene […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si introduce la classe delle matrici elementari che hanno proprietà computazionali interessanti e permettono di costruire algoritmi efficienti per calcolare le principali fattorizzazioni di matrici.    Poi si considerano due sottoclassi particolari di matrici elementari: le matrici elementari di Gauss che sono triangolari superiori, le matrici elementari di Householder che […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Si consideri il sistema lineare $Ax=b$, dove $A$ è una matrice $n\times n$ non singolare e $b\in\mathbb R^n$ è il vettore dei termini noti.    Se la matrice $A$ è triangolare inferiore, cioè se $a_{i,j}=0$ per $i\lt j$, allora il sistema può essere facilmente risolto mediante la sostituzione in […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa In questo articolo esaminiamo alcuni aspetti computazionali e implementativi relativi ai metodi di Gauss e di Householder per il calcolo delle fattorizzazioni LU e QR di una matrice $A$ e per la risoluzione di un sistema lineare $Ax=b$.    Analizzeremo il costo computazionale e la stabilità numerica di questi metodi.    […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa Un problema interessante dal punto di vista computazionale consiste nel calcolare le soluzioni di una equazione o di un sistema di equazioni non lineari.    Nelle applicazioni questo problema si incontra in diverse forme.    Ad esempio, nella progettazione di robot industriali per l’assemblaggio di oggetti costituiti da più parti, la […]

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Dario A. Bini, Università di Pisa In alcune situazioni si incontra il problema di dover approssimare il valore che una certa funzione $f(x):[a,b]\to \mathbb R$ assume in un punto assegnato $\xi\in[a,b]$ avendo a disposizione i valori che la funzione assume in un insieme di $n+1$ punti $x_0,x_1,\ldots,x_n\in[a,b]$. Cioè, date le coppie $(x_i,y_i)$, con $y_i=f(x_i)$ per […]

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