More Articles from Archive ~ August, 2011

Dario A. Bini, Università di Pisa Nella risoluzione di problemi del mondo reale è frequente incontrare errori a vari livelli, molto spesso anche a nostra insaputa. Gli errori hanno varia natura e sono generalmente causati dalla “finitezza” delle risorse a nostra disposizione quali strumenti di misura e risorse di calcolo. Ad esempio, le misure fatte […]

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Il modello del PageRank di Google

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. Quando utilizziamo un motore di ricerca tipo Google per avere informazioni su un certo argomento ci viene fornita in risposta una lista numerosa di pagine, generalmente migliaia o centinaia di migliaia, che contengono le parole chiave che abbiamo richiesto. Queste pagine vengono ordinate in base alla […]

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Problemi di vibrazioni

Dario A. Bini, Università di Pisa 1 – Introduzione. Lo studio delle vibrazioni di sistemi di particelle è un tipico problema in cui il ruolo giocato dagli autovalori e dagli autovettori di matrici è particolarmente rilevante. In questo contesto i metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori hanno una importanza determinante. Molte applicazioni […]

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Applicazione della SVD alla compressione di immagini

Dario A. Bini, Università di Pisa Lo sviluppo della tecnologia digitale consente ormai di raggiungere degli standard di qualità fotografica superiori a quelli forniti dalla ormai superata fotografia su pellicola. Le macchine fotografiche digitali attualmente in commercio permettono di scattare fotografie formate da 10 a 20 megapixel. Esistono macchine molto costose che arrivano a 160 […]

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Sia $\alpha\in\mathbb R$, $n\ge 4$ un intero e $A=(a_{i,j})$ matrice $n\times n$ definita da $a_{i,i}=i\alpha$, per $i=1,\ldots,n$, $a_{i+1,i}=-1$, $a_{i,i+1}=1$, per $i=1,\ldots,n-1$ e $a_{i,j}=0$ altrove. a) Determinare i valori di $\alpha$ per cui i cerchi di Gerschgorin di $A$ sono a due a due disgiunti. Dimostrare che per tali valori di $\alpha$ la matrice $A$ ha […]

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Sia $n>2$ un intero e si denoti con $e=(1,\ldots,1)^T\in\mathbb R^{n-1}$, $e_1=(1,0,\ldots,0)^T\in\mathbb R^{n-1}$. a) Costruire la matrice di Householder $P$ tale che $Pe=\theta e_1$, dove $\theta\in\mathbb R$ b) Sia $A=(a_{i,j})$ matrice reale $n\times n$ tale che $a_{1,i}=a_{i,1}=1$ per $i=2,\ldots,n$ e $a_{i,j}=0$ altrove. Si costruisca una matrice ortogonale $Q$ tale che $B=QAQ^T$ abbia tutti elementi nulli tranne […]

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È dato il sistema lineare $Ax=b$ dove $A$ è una matrice $n\times n$ reale simmetrica definita positiva di autovalori $0\lt \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$. Si consideri il metodo iterativo definito da \[ x^{(i+1)}=x^{(i)}+\alpha(b-Ax^{(i)}), \] con $\alpha$ parametro reale. a) Dare condizioni su $\alpha$ in termini degli autovalori di $A$ necessarie e sufficienti […]

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Dato un intero $n>2$ e un numero reale $\alpha\ne 0$ si consideri la matrice $n\times n$ $A=(a_{i,j})$, tale che $a_{i,i}=1$, $i=1,\ldots, n$, $a_{i,j}=\alpha$ se $i-j$ è congruo a 1 modulo $n$, $a_{i,j}=0$ altrove. a) Dimostrare che esistono uniche le fattorizzazioni $LU$ di $A$ e di $A^T$. b) Descrivere un algoritmo per il calcolo del fattore […]

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Siano rispettivamente $J$ e $G$ le matrici di iterazione dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel applicati al sistema $Hx=b$ dove $H=(h_{i,j})$ è la matrice tridiagonale $n\times n$ tale che $h_{i,i}=3$ per $i=1,\ldots,n$ e $h_{i+1,i}=h_{i,i+1}=1$ per $i=1,\ldots,n-1$. a) Dimostrare che per $n\ge 2$ vale $\rho(J) \lt 2/3$, $\rho(G) \lt 4/9$, dove $\rho(\cdot)$ indica il raggio […]

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